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La beauté des solides géométriques: une introduction

La beauté des solides géométriques: une introduction


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Si vous avez déjà visité Walt Disney World en Floride, vous avez sans aucun doute vu le dôme géodésique appelé Spaceship Earth à Epcot. Il est nommé d'après l'un des termes rendus célèbres par l'architecte américain Buckminster Fuller; un terme qui exprime sa vision du monde et de ses ressources.

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C'est Fuller qui a popularisé le dôme géodésique en tant que caractéristique architecturale. La forme est basée sur polyèdres géodésiques, qui sont une classe de solides géométriques. Les polyèdres géodésiques sont des polyèdres convexes constitués de triangles. Ils ont généralement une symétrie icosaédrique, étant composé de 20 faces triangulaires équilatérales disposées autour de la surface d'une sphère.

Une autre forme célèbre nommée d'après Fuller est la molécule de carbone (C60) buckminsterfullerene, qui a la forme d'un icosaèdre tronqué qui ressemble à un ballon de football. C'est fait de 20 hexagones (un À 6 faces polygone) et 12 pentagones (un À 5 faces polygone).

Trois scientifiques, Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley, ont reçu le prix du roman de chimie 1996 pour leur découverte de la classe des fullerènes, qui comprend le buckminsterfullerène.

Les solides géométriques peuvent être décomposés en deux classes: Polyèdres et Non-polyèdres. Les polyèdres ont plat visages, ou côtés, et les exemples incluent les cubes et les pyramides. Les non-polyèdres n'ont pas de faces plates, et les exemples incluent la sphère, le cylindre, le tore et le cône. Examinons d'abord les non-polyèdres.

Sphère

Comme son homologue 2D, le cercle, une sphère est définie comme l'ensemble des points, dans un espace tridimensionnel, qui sont à la même distance r à partir d'un point donné (le centre), où r est le rayon de la sphère. le diamètre d'une sphère est deux fois la longueur de son rayon.

le le volume d'un solide géométrique est la quantité d'espace contenu dans la figure, tandis que le superficie d'un solide géométrique est l'étendue de l'extérieur ou de la peau de la figure.

De tous les solides géométriques, une sphère a la plus petite surface pour un volume donné. La nature profite de cette propriété pour former des gouttelettes et des bulles d'eau.

Le volume d'une sphère est déterminé par la formule:
V = 4 / 3πr3
r est le rayon de la sphère, et π est d'environ 3.14159.

La surface d'une sphère est calculée par la formule:
A = 4Πr2

A titre d'exemple, le rayon de la Terre est 3 959 milles (Environ 6 378 km), nous pouvons donc calculer la superficie de la Terre comme:
A = 4 * Π * 3 9592 = 196,961,118 miles carrés.

Depuis 71% de la surface de la Terre est l'océan, ce qui nous laisse avec 57,118,725 miles carrés sur lequel vivre.

En réalité, la Terre n'est pas une sphère, mais un sphéroïde, c'est-à-dire qu'il est légèrement aplati aux pôles. Le rayon polaire de la Terre est 3 950 kilomètres (Environ 6 357 km), tandis que son rayon équatorial est 3963 kilomètres (Environ 6 378 km).

La Terre est un sphéroïde aplati, alors que le football américain familier est un prolate sphéroïde. La moitié d'une sphère s'appelle un hémisphère, et sur Terre, du pôle nord à l'équateur se trouve l'hémisphère nord, et de l'équateur au pôle sud, l'hémisphère sud.

Torus

Pour décrire un tore, pensez à la forme d'un beignet ou d'une chambre à air. Un tore est défini par deux rayons: r, qui est le rayon d'un petit cercle qui tourne le long d'une ligne formée par un cercle plus grand qui a un rayon R.

Pour trouver le volume d'un tore, il faut prendre en compte les deux rayons:
V = (2ΠR) * (Πr2), qui peut s'écrire:
V = 2 * Π2 * R * r2

Pour un tore ayant r = 3 pouces et R = 7 pouces
V = 2 * Π2 * 7 * 32
V ≈ 1,244 pouces cubes

La surface d'un tore est déterminée par la formule:
A = (2ΠR) * (2Πr), qui peut s'écrire:
A = 4 * Π2 * R * r
Si nous utilisons les mêmes dimensions que nous l'avons fait pour le volume, nous obtenons:
A = 4 * Π2 * 7 * 3
A ≈ 829 pouces carrés

Cylindre

Les bouteilles nous sont familières avec les conserves, qui viennent en bouteilles. Les cylindres sont de deux types généraux: Droite et Oblique. Si les deux extrémités d'un cylindre sont alignées l'une avec l'autre, il est considéré comme un Cylindre droit, sinon, c'est un Cylindre oblique.

Le volume d'un cylindre est déterminé par l'aire de sa base multipliée par sa hauteur:
V = Π * r2 * h
Donc, pour une boîte de fèves au lard qui a un rayon de 1,5 pouces et une hauteur de 4,5 pouces, son volume est:
V = 3,14159 * 2,25 pouces carrés * 4,5 pouces
V 31,8 pouces cubes
.

La surface d'un cylindre est la somme de la surface de ses deux extrémités, qui est:
2 * π * r2
plus la surface des côtés, qui est:
2 * π * r * h
Par conséquent, la surface totale d'un cylindre est:
A = 2 * Π * r * (r + h)
Pour notre boîte de fèves au lard:
A = 2 * Π * 1,5 * 6
UNE 56,5 pouces carrés
.

Cône

Un cône est un solide géométrique qui a un cercle à une extrémité, appelé le base, et un point à l'autre extrémité, appelé le sommet. Comme avec les cylindres, lorsque l'apex est aligné avec le centre de la base, le cône est appelé un Cône droit, sinon on l'appelle un Cône oblique.

Le volume d'un cône est déterminé par le rayon de sa base et la hauteur de son sommet:
V = 1/3 Π * r2 * h
Un cornet de crème glacée de type gaufré moyen a un rayon de 5 centimètres et une hauteur de 7 pouces. Pour connaître le volume de glace qu'il peut contenir:
V = 1/3 * 3.14159 * 4 pouces carrés * 7 pouces
V 29,32 pouces cubes
.

La surface d'un cône est déterminée en ajoutant la surface de la base, qui est:
π * r2
et l'aire des côtés du cône, qui est:
π * r * s
s est le longueur oblique, qui est la distance de la base au sommet mesurée le long du côté de l'objet.
Par conséquent, la surface d'un cône est:
A = π * r * (r + s)
Pour un cône ayant r = 2 et h = 7, la surface de la base serait:
A = 3,14159 * 4
A ≈ 12,57

La surface du côté est:
A = π * 2 * √ (22 + 72)
A = π * 2 * √(4 + 49)
A = 2π√ (53)
A ≈ 45,74
A = 12,57 + 45,74 58,31 pouces carrés
.

Si l'on compare le volume d'un cylindre et d'un cône qui ont la même taille de base et la même hauteur, le volume du cône est exactement 1/3 celle du cylindre. Cela signifie que si les cornets de crème glacée venaient en cylindres et non en cônes, vous obtiendriez trois fois plus de crème glacée. Yay!

Polyèdres

Maintenant que nous avons examiné les solides géométriques non polyèdres, il est temps de jeter un œil aux solides polyèdres. UNE polyèdre est un solide géométrique qui a des faces planes, ou polygones, qui sont des figures 2D ayant au moins 3 côtés et angles droits. En grec, poly signifie "beaucoup" et hedron signifie "visage".

Les principaux types de polyèdres sont:

  • Cuboïdes et cubes
  • Solides platoniques
  • Prismes
  • Pyramides

Cuboïdes et cubes

Les cuboïdes sont des objets en forme de boîte qui ont 6 faces plates, et tous leurs angles sont droits, ou 90 ° angles. Les cuboïdes ont un longueur, une largeur, et un la taille. Lorsque les trois (longueur, largeur et hauteur) sont identiques, un cuboïde est appelé un cube et chacune de ses faces est un carré. Un cube a 6 visages, 8 sommets et 12 bords.

On détermine le volume d'un cuboïde par:
V = longueur * largeur * hauteur
Donc, pour une boîte d'une longueur de 10 pouces, une largeur de 4 pouces, et une hauteur de 5 pouces:
V = 10 * 4 * 5
V =
200 pouces cubes.
C'est bon de savoir si vous souhaitez expédier un colis.

La surface d'un cuboïde est déterminée par:
A = 2 * largeur * longueur + 2 * longueur * hauteur + 2 * hauteur * largeur
Pour la boîte d'une longueur de 10 pouces, une largeur de 4 pouces, et une hauteur de 5 pouces:
A = 2 * 4 * 10 + 2 * 10 * 5 + 2 * 5 * 4
A = 220 pouces carrés
.
Il est également bon de savoir si vous souhaitez emballer une boîte.

Les solides platoniques

Nommé d'après le philosophe grec Platon, ce sont des formes 3D où chaque visage est un polygone régulier, c'est-à-dire un polygone dont les côtés ont tous la même longueur. De plus, un solide platonicien doit avoir le même nombre de polygones se rencontrant à chaque sommet, ou coin. Cela signifie que le cube que nous venons de rencontrer ci-dessus est un solide platonicien, car chacune de ses faces est un carré de même taille, et 3 carrés se rencontrent à chacun de ses sommets.

Tétraèdre

Un autre solide platonicien est le tétraèdre, également connu sous le nom de pyramide triangulaire. Il est composé de 4 faces triangulaires, 6 bords droits et 4 sommets. C'est le seul solide platonicien qui n'a pas de faces parallèles, et c'est le plus simple de tous les solides platoniques.

Lorsqu'un tétraèdre a toutes les faces de la même taille et de la même forme, il s'agit d'un Tétraèdre régulier, sinon c'est un Tétraèdre irrégulier.

Le volume d'un tétraèdre est déterminé par:
V = √2 / 12 * (longueur du bord)3
Pour un tétraèdre ayant une longueur d'arête de 4 pouces
V = 1,414 / 12 * 64
V 7,54 pouces cubes
.

La surface spécifique d'un tétraèdre peut être déterminée par:
A = √3 * (longueur du bord)2
donc, pour notre tétraèdre ayant une longueur d'arête de 4, sa superficie serait:
Un = 1,732 * 16
A = ≈ 27,71 pouces carrés
.

Octaèdre

Un octaèdre est comme deux pyramides carrées reliées à leurs bases. Il a 4 triangles qui se rencontrent à chaque sommet, 8visages, 6sommets et 12 bords.

On peut calculer le volume d'un octaèdre par:
V = (√2) / 3 * (Longueur du bord)3
Pour un octaèdre ayant une longueur d'arête de 4 pouces, son volume serait:
V = 1,414 / 3 * 64
V ≈ 30,17 pouces cubes
.

La surface d'un octaèdre est:
A = 2 * √3 * (longueur du bord)2
A = 2 * 1,732 * 16
A ≈ 55,42 pouces carrés
.

Dodécaèdre

Ce solide platonicien se forme lorsque 3 pentagones (À 5 faces polygones) se rencontrent à chaque sommet, il a 12 visages, 20 sommets et 30 arêtes. Un dodécaèdre tire son nom du grec dodéca, ce qui signifie 12.

Le volume d'un dodécaèdre est:
V = (15 + 7 * √5) / 4 * (longueur du bord)3
Pour un dodécaèdre ayant une longueur d'arête de 4 pouces, son volume serait:
V = (15 + 7 * 2,236) / 4 * 64
V ≈ 490,43 pouces cubes
.

La formule pour trouver la surface d'un dodécaèdre est:
A = 3 * √ (25 + 10 * √5) * (Longueur du bord)2
A = 3 (25 + 22,36) * 16
A ≈ 330,33 pouces carrés
.

Icosaèdre

Le plus complexe des solides platoniques, à chacun de ses sommets, 5 trangles rencontrer, l'Icosaèdre a 20 visages dont chacun est un triangle équilatéral (un triangle ayant 3 égaux côtés et 3 égaux angles de 60°), 12 sommets et 30 arêtes.

L'icosaèdre vous est peut-être familier lorsque vous jouez à des jeux utilisant des dés à 20 faces, et mère nature a apparemment un penchant pour cette forme, car la coque externe du virus du papillome humain est un icosaèdre.

Le volume d'un icosaèdre est déterminé par la formule:
V = 5 * (3 + √5) / 12 * (longueur du bord)3
donc, pour un icosaèdre ayant une longueur d'arête de 4 pouces, son volume serait:
V = 5 (5,236) / 12 * 64
V ≈ 139,63 pouces cubes
.

La formule pour calculer la superficie d'un icosaèdre est:
A = 5 * √3 * (longueur du bord)2
A ≈ 138,56 pouces carrés
.

Prismes

Un prisme est un solide géométrique ayant des extrémités identiques, des faces planes et la même section transversale sur sa longueur. Les deux extrémités d'un prisim s'appellent son les bases, et les faces d'un prisme sont toutes parallélogrammes (une figure 2D dont les côtés opposés sont parallèles et égaux, et dont les angles opposés sont égaux).

Selon cette définition, le cuboïde et les cubes que nous avons rencontrés ci-dessus sont des prismes, mais vous pouvez également avoir des prismes triangulaires, pentagonaux et hexagonaux, dont les sections transversales sont respectivement un triangle, un pentagone et un hexagone.

Les sections transversales de Prismes réguliers ont des longueurs d'arêtes égales et des angles égaux, tandis que les sections transversales de Prismes irréguliers ont des longueurs de bord inégales et des angles inégaux.

Si les bases d'un prisme sont alignées les unes sur les autres, on dit que le prisme est un Prisme droit, si les bases ne sont pas alignées les unes sur les autres, on dit qu'il s'agit d'un Prisme oblique.

On peut déterminer le volume d'un prisme par:
Volume = zone de base * longueur
Pour un prisme triangulaire ayant une aire de base de 25 pouces carrés et une longueur de 10 pouces, son volume serait:
V = 25 pouces carrés * 10 pouces
V = 250 pouces cubes.

On peut trouver la surface d'un prisme triangulaire par:
2 * zone de base + périmètre de base * longueur
Si nous utilisons l'exemple ci-dessus, notre prisme triangulaire a une aire de base de 25 pouces carrés, une longueur de 10 pouces, et un périmètre de base de 24 pouces:
A = 2 * 25 pouces carrés + 24 pouces * 10 pouces
A = 290 pouces carrés

Pyramides

Une pyramide est définie en ayant une base qui est un polygone, un sommet et des faces qui sont des triangles. Les célèbres pyramides du plateau de Gizeh en Égypte sont en fait Pyramides carrées parce que leurs bases sont un carré. Vous pouvez également avoir une pyramide avec une base triangulaire appelée pyramide triangulaire et une pyramide avec un pentagone comme base appelée pyramide pentagonale.

Si le sommet d'une pyramide est directement au-dessus du centre de sa base, on dit qu'il s'agit d'un Pyramide droite. Si l'apex n'est pas au-dessus du centre de la base, on dit qu'il s'agit d'un Pyramide oblique.

Le volume d'une pyramide est déterminé par:
V = 1/3 * Zone de base * hauteur
Déterminons le volume de la pyramide de Khéops, la plus grande des trois pyramides du plateau de Gizeh. La longueur de chaque côté de sa base est 756 pieds ou 230,34 mètres. Par conséquent, sa surface de base est 571,536pieds carrés ou 53,056.5mètres carrés. La hauteur de la Grande Pyramide est 455 pieds ou 138,7 mètres, donc le volume de la Grande Pyramide est:
V = 1/3 * 571 536 pieds carrés * 455 pieds
V = 86,682,960 pieds cubes

C'est beaucoup de place pour le pharaon Khufu, qui est enterré dans la pyramide.

La superficie d'une pyramide comprend deux parties: la Zone de base et le Zone latérale. Pour une pyramide irrégulière, vous devez additionner l'aire de chacune de ses faces triangulaires pour trouver sa surface, mais pour une pyramide régulière, nous pouvons trouver l'aire latérale en:
A = (Périmètre * Longueur oblique) / 2
Pour la Grande Pyramide dont la longueur de base est 756 pieds, son périmètre est 3,024 pieds et sa longueur oblique est 612 pieds ou 186,42 mètres. Par conséquent, la surface latérale de la Grande Pyramide est:
A = (3 024 * 612) / 2
lequel est 925344 pieds carrés.

Des centaines de solides géométriques

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